Monty Hall Problemi; Amerikan TV yarışma programı özgün adı Let's Make a Deal olan Bir Anlaşma Yapalım adlı yarışma programında 3 kapı problemi olarak ortaya çıkan ve ismini yarışmanın sunucusu Monty Hall'dan alan paradokstur.
Monty Hall Problemi ya da diğer adı ile Monty Hall Paradoksu olarak bilinen problem şu şekilde ortaya çıkmıştır.
Steve Selvin 1975'te American Statistician'a bir mektup yazarak Let's Make a Deal'a Türkçesi ile Bir Anlaşma Yapalım’a dayanan bir problemi anlattı.
Steve Selvin bir sonraki mektubunda bu probleme Let's Make a Deal yarışma programının sunucusu Monty Hall'un adından esinlenerek Monty Hall Problemi adını verdi.
Monty Hall Problemi, yaygın biçimlerinden biriyle, Martin Gardner'ın 1959'da Scientific American'daki köşesi Mathematical Games'te açıkladığı Üç Mahkum Problemi'ne matematiksel olarak eşittir.
Monty Hall Problemi; Parade dergisinde Ask Marilyn yani Marilyn'e Sor köşesini yazan Marilyn vos Savant'ın Parade dergisindeki Ask Marilyn köşesinde yayımlanan bir mektupla yeniden gündeme geldi:
Parade dergisinin ifadesi ile; Bir yarışma programında olduğunuzu ve üç kapıdan birini seçme hakkınız olduğunu varsayalım. Kapılardan birinin ardında bir araba, diğerlerinin ardında ise keçiler var. Kapılardan birini, diyelim ki 1.'yi seçiyorsunuz ve kapıların ardında ne olduğunu bilen sunucu, diğer kapılardan birini, diyelim ki ardında keçi olan 3.'yü açıyor. Daha sonra size soruyor: "2. kapıyı seçmek ister misiniz?" Seçiminizi değiştirmek sizin yararınıza mıdır?
Yarışmacı geriye kalan iki kapıdan hangisinin kazanan olduğundan emin olamadığı için, çoğu kişi bu kapıların eşit olasılığa sahip olduğunu ve seçimi değiştirmenin hiçbir şeyi değiştirmeyeceğini sanır. Aslında, problemin klasik açıklamasına göre yarışmacı seçimini değiştirmelidir. Zira böylece arabayı bulma olasılığını 1/3'ten 2/3'e çıkarır; yani ikiye katlar. Monty Hall problemi, yaygın biçimlerinden biriyle, daha eski bir problem olan Üç Mahkum Problemine matematiksel olarak eşittir ve bunların ikisi birden daha da eski olan Bertrand'ın Kutusu Paradoksu'yla benzerlikler gösterir. Bunlar ve olasılığın eşit olmayan şekilde dağıtımıyla ilgili diğer problemlerin doğru şekilde çözümünün zor olduğu yönünde bir inanış vardır ve bu durum problemlerin nasıl algılandığını ele alan psikolojik çalışmaların yapılmasına yol açmıştır. Monty Hall probleminin tamamıyla açık çözümüyle buna ilişkin açıklamalar, benzetme ve resmi matematiksel kanıtlar ortaya konulduğunda bile, çoğu kişi doğru yanıta şüpheyle bakmaktadır.
Monty Hall Problemi’nin Çözümü:
Yarışmacı kapılardan birini seçtiğinde, seçilen kapının ardında araba olma olasılığı 1/3'tür ve araba 2/3 olasılıkla diğer kapılardan birinin ardındadır. Sunucunun ardında keçi olan bir kapıyı açması, yarışmacıya seçtiği kapının ardında ne olduğuyla ilgili yeni bir bilgi vermez. O kapının ardında araba olma olasılığı hâlâ 1/3'tür. Sunucunun verdiği yeni bilgi, açılan kapının ardında araba olma olasılığının 0/3 olduğudur. Dolayısıyla araba 2/3 olasılıkla hâlâ açılmayan kapının ardındadır (Wheeler 1991; Schwager 1994). Kapı seçimi değiştirilirse arabayı kazanma olasılığı 2/3'tür, bu nedenle yarışmacı seçimini değiştirmelidir.
Bu popüler hikâyeyi matematiksel olarak kesin bir çözüme kavuştururken, 2. ya da 3. kapıyı açmanın 1. kapının ardında araba olma olasılığını neden değiştirmediği sorulabilir. Bu soru, simetriye başvurularak yanıtlanabilir: Yukarıda yapılan varsayımlar ışığında, kapılar rastgele yeniden numaralandırılırsa ve özellikle 2 ile 3 yer değiştirirse, değişen bir şey olmaz. Dolayısıyla, arabanın 1. kapının ardında olması, yarışmacının 1'i seçmesi ve Monty'nin 2'yi açması şartlı olasılığı, yine arabanın 1. kapının ardında olması, yarışmacının 1'i seçmesi ve Monty'nin 3'ü açması şartlı olasılığına eşittir. Bu iki (eşit) olasılığın ortalaması 1/3'tür, bundan dolayı her birinin olasılığı da ayrı ayrı 1/3'tür.
Analiz, yarışmacının başlangıçta arabayı, keçi A'yı ya da keçi B'yi seçmesi eşit olasılıklarına göre örneklendirilerek açıklanabilir.
